Chapitre 8 Codage des flottants

Le principe est l'extension du système déjà rencontré pour les nombres entiers. La partie décimale (à droite de la virgule) correspondra aux puissances négatives de 2.

...	8	4	2	1	0.5	0.25	0.125	...
...	\(2^3\)	\(2^2\)	\(2^1\)	\(2^0\)	\(2^{-1}\)	\(2^{-2}\)	\(2^{-3}\)	...
...	0	1	1	0,	1	0	1	...

Exemple : \(110,101_2=1 \times 2^2 + 1 \times2^1 +0 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} +0 \times 2^{-2}+1 \times 2^{-2} =4+2+0,5+0,125=6,625\)

1. Tentatives de conversion

1.1 Théorème de décomposition en puissances de 2

Tout commence bien, avec un résultat mathématique rassurant : tous les nombres réels peuvent s'écrire comme une somme de puissances de 2 (puissances positives et négatives).

Théorème

Pour tout réel \(x \in \mathbb{R}^+\), il existe \(p \in \mathbb{N}\) et \((a_p,a_{p-1},...,a_0,a_{-1},a_{-2},...)\) tels que \(x = \sum_{i=0}^pa_i2^i+\sum_{i=1}^{+\infty}a_{-i}2^{-i}\)

Écrire un nombre en binaire revient à calculer les coefficients \(a_k\) (ils sont égaux à 0 ou 1). Il y en a un nombre fini pour la partie entière, mais un nombre potentiellement infini pour la partie décimale.

1.2 Méthode de conversion

Considérons le nombre \(3,6875\). Il se décompose en une partie entière (3) et une partie décimale (\(0,6875\)).

• partie entière : \(3=11_2\)
• partie décimale : la conversion de \(0,6875\) se fait en plusieurs étapes.
  \(0,6875 \times 2 = \textbf{1},375\)
  \(0,375 \times 2 = \textbf{0},75\)
  \(0,75 \times 2 = \textbf{1},5\)
  \(0,5 \times 2 = \textbf{1}\)

On prend ensuite le chiffre des unités de tous les nombres obtenus : 1011

Donc \(3,6875=11,1011_2\)

Exercice 1

ÉnoncéCorrection

Donner l'écriture binaire de 20,875.

• partie entière : \(20 = 10100_2\)
• partie décimale :
  • \(0,875 \times 2 = \textbf{1},75\)
  • \(0,75 \times 2 = \textbf{1},5\)
  • \(0,5 \times 2 = \textbf{1}\)

Donc \(20,875=10100,111_2\)

Exercice 2

ÉnoncéCorrection

Donner l'écriture binaire de 0,2.

• partie entière : \(0 = 0_2\)
• partie décimale :
  • \(0,2 \times 2 = \textbf{0},4\)
  • \(0,4 \times 2 = \textbf{0},8\)
  • \(0,8 \times 2 = \textbf{1},6\)
  • \(0,6 \times 2 = \textbf{1},2\)
  • \(0,2 \times 2 = \textbf{0},4\)
  • et cela continue...

Le nombre 0,2 n'admet pas d'écriture binaire finie.

Conclusion

Certains nombres n'admettent pas une écriture binaire finie. Or la mémoire d'un ordinateur, quelqu'il soit, est toujours finie. Certains nombres ne peuvent donc pas être représentés correctement en machine : c'est une impossibilité théorique. Cela amène à des comportements étranges :

🐍 Script Python

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

Remarque : parmi les nombres décimaux à un chiffre après la virgule (0,1 0,2 0,3 ...) seul 0,5 admet une écriture binaire finie ! Tous les autres ont une représentation en machine qui n'en donne qu'une valeur approchée.

2. Conséquences : la difficile manipulation des flottants

En python, les nombres non entiers sont du type float.

🐍 Script Python

>>> type(0.1)
<class 'float'>

Ces flottants (traduction française) sont à manipuler avec une extrême précaution. Il faut garder en tête que les calculs sont potentiellement faux, du moins imprécis, lorsque des flottants interviennent.

🐍 Script Python

>>> 0.5-0.2-0.2-0.1
-2.7755575615628914e-17

En 1991, durant la Guerre du Golfe, un missile anti-missile américain a raté sa cible de 500 mètres car son ordinateur interne émettait un signal toutes les 0.1 secondes. Au bout de 100 heures de fonctionnement, l'approximation du nombre flottant 0.1 a conduit à un décalage de 0,34 secondes, ce qui lui a fait rater sa cible. (source)

3. Comment faire des tests d'egalité sur les flottants ?

Première réponse : ON N'EN FAIT PAS.

Si a et b sont deux flottants, le test classique

🐍 Script Python

if a == b :
    print("a et b sont égaux")

a de grandes chances d'échouer :

Le script

a = 0.1
b = 0.3 - 0.2
if a == b :
    print("a et b sont égaux")
else :
    print("a et b sont différents")

renverra

📋 Texte

a et b sont différents

Si vraiment un test d'égalité est nécessaire, on ne va pas tester l'égalité entre a et b mais leur proximité, grâce à la valeur absolue de leur différence.

La fonction abs(a-b) renvoie un nombre positif égal à la distance entre a et b. Il faut alors décider d'un écart minimal e en dessous duquel on considèrera que a et b sont égaux.

Le script

🐍 Script Python

a = 0.1
b = 0.3-0.2
e = 10**(-12)
if abs(a-b) < e :
    print("a et b sont égaux")
else :
    print("a et b sont différents")

renverra

📋 Texte

a et b sont égaux

Exercice

ÉnoncéCorrection

On considère la fonction \(f(x)=x^3-6x+2\).
L'équation \(f(x)=1\) admet une solution unique dans l'intervalle \([0;1]\).
Trouver une valeur approchée de cette solution à \(10^{-5}\) près. On prendra e\(=0,001\).